ラプラス変換って何だっけ？
フーリエ変換$$F(j\omega) = \int_{-\infty} ^{\infty}f(t)e^{j\omega t}dt$$では、例えば正弦波のような、無限大時間まで収束していかないような周期を持った信号を相手にするとディラックの超関数を使わないと積分が\(\infty\)となってしまってうまくないわけです。不便なので、ラプラス演算子$$s = \sigma + j\omega$$を考えて$$F(s) = \int_{0}^{\infty}f(t)e^{-st}dt$$を計算することを考えます。
\(e^{-st} = e^{-(\sigma + j\omega)t} = e^{-\sigma t} e^{-j\omega t} \)で、\(\sigma > 0\)であれば\(e^{-\sigma t}\)は\(t\to \infty\)のとき必ず\(e^{-\sigma t}\to 0\)となります。$$F(s) = \int_{0}^{\infty}f(t)e^{-st}dt = \int_{0}^{\infty}f(t)e^{-\sigma t}e^{-j\omega t}dt$$ \(g(t) = f(t)e^{-\sigma t}\)とおくと、$$F(s) = \int_{0}^{\infty}g(t)e^{-j\omega t}dt$$となり、g(t)についてのフーリエ変換となりますが、g(t)は、\(|f(t)|\)が指数関数的に増加する関数でないなら\(t\to \infty \)のとき\(g(t)\to 0\)となるので積分ができる、ということがメリットです。これをラプラス変換といいます。ラプラス変換の場合、積分範囲を0から無限大までとしているので、\(t<0\)のとき\(f(t)=0\)になる前提があります。これを因果律(causal)といいますが、一般的な電気回路において、t=0より前の話は見ていないのが当たり前（例えば、t=0でスイッチを閉じた、等のシチュエーションを考えているわけで、スイッチを閉じる前の状態は気にしていないわけです）なので、これで十分です。
ラプラス変換は、主に回路の伝達関数を求める場合と、過渡状態の微分方程式を簡単に解く場合とで使われます。微分方程式を解く場合には、いったんラプラス変換して解を求めて、それを逆変換する手順をとります。
典型的な関数のラプラス変換
ラプラス変換は、簡単なものやよく使うものは解を覚えてしまうと楽です。まぁ覚えていなくても定義から解けますけれどね･･･。
| 関数 | ラプラス変換 |
| \(e^{at}\) | \(\mathcal{L}\{e^{at}\} = \int_{0}^{\infty}e^{at}e^{-st}dt = \int_{0}^{\infty}e^{-\left(s-a\right)t}dt = \left[\frac{-e^{-\left(s-a\right)t}}{s-a} \right]^{\infty}_{0} = \frac{1}{s-a} \) |
| ステップ関数 \(U(t) = \begin{cases} 1 & \text{if } t \ge 0 \\ 0 & \text{if } t \lt 0 \end{cases} \) | \(\mathcal{L}\{U(t)\} = \int_{0}^{\infty}U(t)e^{-st}dt = \int_{0}^{\infty}e^{-st}dt = \frac{1}{s} \) |
| \(\cos\omega t, \sin\omega t \) | \(\mathcal{L}\{e^{j\omega t}\} = \int_{0}^{\infty}e^{-(s-j\omega) t}dt = -\frac{1}{s-j\omega}\left[e^{-(s-j\omega)t}\right]^{\infty}_{0}=\frac{1}{s-j\omega}=\frac{s}{s^{2}+\omega^{2}}+j\frac{\omega}{s^2+\omega^2} \) 実部が\(\cos\omega t\), 虚部が\(\sin\omega t\)となるので、それぞれ\( \frac{s}{s^{2}+\omega^{2}}, \frac{\omega}{s^{2}+\omega^{2}} \)となる。 |
ラプラス変換の性質
線形性
\(\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s), \mathcal{L}\{g(t)\} = G(s) \)とすると、$$\mathcal{L}\{c_1f(t) + c_2g(t)\} = c_1\mathcal{L}\{f(t)\} + c_2\mathcal{L}\{g(t)\} = c_1F(s) + c_2G(s)$$となる、というものです。
微分則
関数\(f(t)\)の微分のラプラス変換は、\(f(t)\)が指数関数よりも急激に増減する関数でなければ$$\lim_{t\to\infty}f(t)e^{-st}=0$$となることと、部分積分より$$\mathcal{L}\{\frac{df(t)}{dt}\}=\int_{0}^{\infty}f'(t)e^{-st}dt=\left[f(t)e^{-st}\right]^{\infty}_{0}+s\int_0^{\infty}f(t)e^{-st}dt$$なので、\(f(t)\)のラプラス変換を\(\mathcal{L}\{f(t)\}=F(s)\)とすると、
$$\mathcal{L}\{f'(t)\}=-f(0)+s\mathcal{L}\{f(t)\} = sF(s) – f(0)$$
となります。2階微分なら、
$$\mathcal{L}\{f”(t)\} = s\mathcal{L}\{f'(t)\}-f'(0) = s(sF(s) – f(0)) – f'(0) = s^2F(s) -sf(0) – f'(0)$$
となります。
過渡状態の回路
過渡状態の回路解析は、真正直に取り組むと微分方程式を作ってそれを解くということになるのですが、面倒なこともあります。そこで、いったん微分方程式をラプラス変換して代数演算をして簡単にしておいてから逆ラプラス変換をして解を得ることをします。いつも簡単になるわけではなくて、簡単になるような形に持ち込める微分方程式については以上のテクニックを使うと良いよって感じですが。